Science: algèbre de Lie

E8 ou « Nul n’entre ici s’il n’est géomètre »

1) Notions mathématiques

Le réseau ou la grille E8 (‘lattice’ en anglais, ce qui peut aussi être traduit par ‘grille’ E8) est un sous-groupe discret de l’espace des Réels à 8 dimensions, et de rang complet (c'est-à-dire qu'il couvre tout R8). Il peut être défini explicitement par l'ensemble des points de l’ensemble Γ8 ⊂ R8 tels que :

-les 8 coordonnées de chaque point sont soit toutes des entiers ou toutes des demi-entiers (un mélange d'entiers et de demi-entiers n'est pas autorisé), et -la somme des huit coordonnées est un entier pair. En symboles :

Par exemple, le point P1 de coordonnées {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} - dont la somme des coordonnées donne 36, entier pair - ou le point P2 de coordonnées {1/2, 3/2, 5/2, 7/2, 9/2, 11/2, 13/2, 15/2} – dont la somme donne 64/2 soit 32 – appartiennent à E8 ou Γ8.

Il n'est pas difficile de vérifier que la somme de deux points de réseau est un autre point de réseau, de sorte que Γ8 est bien un sous-groupe. Le réseau E8 (ou grille Γ8) peut être caractérisé comme l’unique réseau de l’espace des Réels R8 à 8 dimensions, avec les propriétés suivantes: - Il est intégral, ce qui signifie que tous les produits scalaires des éléments de réseau sont des nombres entiers.

Avec notre exemple au-dessus : P1.P2 = (1 x 1/2) + (2 x 3/2) + (3 x 5/2) + …. + (8 x 15/2) = 186 - Il est unimodulaire, ce qui signifie qu'il est intégral, et peut être généré par les colonnes d'une matrice 8 × 8 avec un déterminant ± 1 (c'est-à-dire que le volume du parallélotope fondamental du réseau est 1). De manière équivalente, Γ8 est auto-dual, ce qui signifie qu'il est égal à son double réseau. - Il est pair, ce qui signifie que la norme de tout vecteur de réseau est paire. Une base possible pour Γ8 est donnée par les colonnes de la matrice (triangulaire supérieure)

Γ8 est alors l'envergure intégrale de ces vecteurs. Toutes les autres bases possibles sont obtenues à partir de celle-ci par multiplication à droite par des éléments de GL (8, Z).

2) Symboles et géométrie

Petite définition: l'information est le sens véhiculé par le symbolisme. Et les expressions de code ou de langage sont des chaînes de symboles autorisées par la syntaxe (des règles qui ordonnent les symboles en laissant des degrés de liberté).

Par exemple : si j’utilise le langage ‘langue française’, la chaîne de symboles ‘l’étoile de David’ est autorisée syntaxiquement et le sens véhiculé par ce symbolisme est désigné ‘information’.

Par exemple : si j’utilise la géométrie en deux dimensions, la chaîne de symboles ‘triangle équilatéral point vers le bas’ + ‘triangle équilatéral pointe vers le haut’ = ‘étoile de David’.

Un symbole est un objet qui se représente lui-même ou qui représente un autre objet. Exemple le symbole ‘triangle’.

Et un objet est tout ce à quoi on peut penser. Dans l'univers de tous les symboles, il existe une classe spéciale à très faible subjectivité. Ils peuvent être appelés symboles géométriques auto-référentiels. Par exemple, nous pouvons représenter la signification d'un carré avec les lettres latines «carré». Ou nous pouvons le représenter avec le symbole d'un carré lui-même, auquel cas il s'agit d'un symbole autoréférentiel. Idem pour le symbole désigné en français par « triangle » et en géométrie par la forme géométrique qui lui correspond: il est auto-référentiel.

Les pavages de Penrose sont des exemples de codes symboliques géométriques. L’animation montre ci-dessous comment on peut, avec des triangles d'or, réaliser un pavage de Penrose de type 0 (6 étapes).

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Penrose_pavage1_6_steps.gif?uselang=fr

Parce que l'univers est géométrique à 3 dimensions, les symboles logiques du code sous-jacent pour décrire et paver l’univers devrait des polyèdres. Et les règles d’ordonnancement de ces polyèdres, ainsi que les règles dynamiques, devraient être basées sur des principes premiers géométriques, par opposition aux règles arbitraires ou inventées.

Dans un article[1] de Klee Irwin, il est élaboré un code à base de quasi-cristallins, à partir duquel toute la théorie de la gravité quantique peut être exprimée. Un quasi-cristal est un solide qui possède un spectre de diffraction essentiellement discret (comme les cristaux classiques) mais dont la structure n'est pas périodique (alors que les cristaux classiques sont périodiques).

Le modèle standard de la physique des particules est généralement considéré comme le plus puissant modèle physique que nous ayons. Il synthétise toute la mécanique quantique avec les données du collisionneur de particules, démontrant comment toutes les particules et forces fondamentales connues (autres que la gravité) sont unifiées selon une symétrie de jauge (le système physique et quantique est invariant sous l'action locale d'un groupe de symétrie appelé groupe de jauge).

Ce groupe mathématique de symétrie de jauge correspond à des polytopes et des réseaux de dimensions supérieures.

En fait, un quasi-cristal correspond à une projection irrationnelle dans un espace à m dimensions (exemple 3 dimensions) d'une tranche d'un réseau à n dimensions (exemple 8). La projection conserve (en cours de transformation) les informations clés du réseau de dimension supérieure et son algèbre de Lie associée.

Il a été démontré qu’un quasi-cristal 3D dérivé du réseau E8 (projection de la grille Γ8 de l’espace à 8 dimensions sur un espace à 3 dimensions) code la symétrie de jauge unificatrice du modèle standard de physique des particules. Nous ne connaissons qu'une seule classe de codes non inventés par l’homme qui existe en tant que premiers principes de l'univers de tous les codes (à la fois géométriques et non géométriques). Cette classe de codes est, pour l’univers 3D, l'ensemble de tous les quasi-cristaux. Chacun est généré par une projection irrationnelle, sur un espace d’une dimension inférieure, d’une tranche de réseau de dimension supérieure. Le modèle standard de la physique des particules et les modèles de symétrie de jauge associés correspondent aux algèbres de Lie et aux réseaux associés.

Par ailleurs, Nassim Haramein a démontré que l’unité élémentaire de l’espace vide dans lequel l’univers évolue – ce qu’il appelle l’unité sphérique de Planck (USP en français, PSU en anglais) - est aussi une projection de la grille E8 sur l’espace 3D :

Chaque grain de l’espace, chaque ‘pixel’ (d’une taille très, très minuscule, de la longueur de Planck) est en fait une projection en 3D de la grille E8 présentée au premier chapitre.

3) Conclusion

Conclusions de l’auteur, à partir des travaux de Klee Irwin (institut de gravité quantique) et Nassim Haramein (Resonance Science Foundation):

· Nous évoluons dans un espace à 3 dimensions, alors qu’il en existe au moins 5 autres.

· L’information exprimée dans les langages ou codes géométriques de cet espace à 8 dimensions (il serait facile de citer ici le VERBE et la recommandation de Pythagore) est préservée lors de la transformation ou projection de 8D à 3D

· Cet espace à 3 dimensions que nous pensons connaître n’est pas vide – il est empli de grains d’espace ou unités sphériques de Planck d’une densité d’énergie énorme et quasi infinie - et la matière qui, au sein de cet espace, constitue notre univers observable (les étoiles, les galaxies, la terre, l’eau, les plantes, le vivant, l’homme), ne représente que 4% de la masse totale.

[1] K. Irwin, A new approach to the hard problem of consciousness: A quasicrystalline language of primitive units of consciousnes" in quantized spacetime (part i), J. Conscious. Explor. Res. 5(5) (2014) 483–497.